কারিগরি শিক্ষা বোর্ডে (বাকাশিবো) আসা প্রশ্নের সম্পূর্ণ সমাধান
ক্লিক / Space / → চাপলে একটা করে লাইন আসবে। গ্রাফে একটা করে বিন্দু বসবে। ← চাপলে পেছনে।
কালাম স্যার
সূচি · বোর্ডে আসা প্রশ্ন
এই প্রেজেন্টেশনে যা আছে
ক্রম
বিষয়
বোর্ড সাল
১
গণসংখ্যা বহুভুজ ও অজিভ রেখা (৫০ জনের গণিতের নম্বর)
২০১৭, ২০১৯, ২০২০, ২০২২, ২০২৪, ২০২৫
২
মধ্যক নির্ণয় (৫০ জনের ওজন)
২০১৮, ২০২২, ২০২৩
৩
সরাসরি পদ্ধতিতে গড় (গড় = 61.9)
২০১৬
৪
সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় (উৎপাদন খরচ)
২০১৮
৫
অবিন্যস্ত উপাত্ত → সারণি → সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড়
২০১৫
৬
মধ্যক ও গণসংখ্যা বহুভুজ (সময়)
২০১৫, ২০২৪
৭
প্রচুরক ও অজিভ রেখা
২০২২
৮
প্রচুরক (প্রথম শ্রেণিতে সর্বোচ্চ গণসংখ্যা)
২০১১, ২০১৭, ২০১৯, ২০২৩
৯
মধ্যকের সূত্র, প্রচুরক ও আয়তলেখ
২০১৬, ২০২৫
শুরুর আগে · মূল ধারণা
তিনটি গড় — তিন রকম "মাঝখান"
নাম
কী বোঝায়
বাস্তব উদাহরণ
গাণিতিক গড়
সবার মান যোগ করে মোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ
ক্লাসের গড় নম্বর
মধ্যক
মানগুলো ছোট থেকে বড় সাজালে ঠিক মাঝের মান
লাইনে দাঁড়ানো ছাত্রদের মাঝের জনের উচ্চতা
প্রচুরক
যে মান সবচেয়ে বেশিবার আসে
দোকানে সবচেয়ে বেশি বিক্রি হওয়া জুতার মাপ
কেন্দ্রীয় প্রবণতা: উপাত্তগুলো মাঝামাঝি কোনো মানের কাছে জমা হওয়ার প্রবণতাকে কেন্দ্রীয় প্রবণতা বলে। গড়, মধ্যক ও প্রচুরক — এই তিনটি দিয়ে তা মাপা হয়।
গণসংখ্যা নিবেশন সারণি: উপাত্তকে শ্রেণি ব্যবধান অনুযায়ী ভাগ করে কোন শ্রেণিতে কয়টি মান আছে তা সারণিতে সাজানো।
প্রশ্ন ১ · গণসংখ্যা বহুভুজ ও অজিভ রেখা [বাকাশিবো-২০১৭, ২০১৯, ২০২০, ২০২২, ২০২৪, ২০২৫]
১০ম শ্রেণির 50 জন শিক্ষার্থীর গণিতে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো। প্রদত্ত উপাত্তের গণসংখ্যা বহুভুজ ও অজিভ রেখা আঁক।
শ্রেণি ব্যাপ্তি
31–40
41–50
51–60
61–70
71–80
81–90
91–100
গণসংখ্যা
6
8
10
12
5
7
2
ধাপ ১: শ্রেণি মধ্যমান বের করি
প্রথম শ্রেণির মধ্যমান = 31 + 402 = 712 = 35.5
প্রতি শ্রেণিতে 10 যোগ হবে: 35.5, 45.5, 55.5, 65.5, 75.5, 85.5, 95.5
কৌশল: শ্রেণি ব্যবধান 10 হলে একটা মধ্যমান বের করে বাকিগুলোতে শুধু 10 করে যোগ করো।
প্রশ্ন ১ · গণসংখ্যা বহুভুজের সারণি
শ্রেণি ব্যাপ্তি
মধ্যমান (x)
গণসংখ্যা (f)
বিন্দু (x, f)
(শুরুর কাল্পনিক শ্রেণি) 21–30
25.5
0
(25.5, 0)
31–40
35.5
6
(35.5, 6)
41–50
45.5
8
(45.5, 8)
51–60
55.5
10
(55.5, 10)
61–70
65.5
12
(65.5, 12)
71–80
75.5
5
(75.5, 5)
81–90
85.5
7
(85.5, 7)
91–100
95.5
2
(95.5, 2)
(শেষের কাল্পনিক শ্রেণি) 101–110
105.5
0
(105.5, 0)
বহুভুজকে X-অক্ষের সাথে বন্ধ করতে প্রথমের আগে ও শেষের পরে গণসংখ্যা 0 ধরে দুটি কাল্পনিক মধ্যমান নেওয়া হয়।
প্রশ্ন ১ · গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কন
স্কেল: X-অক্ষে ছোট 5 ঘর = 10 নম্বর; Y-অক্ষে ছোট 5 ঘর = 2 জন
মূলবিন্দু থেকে 20 পর্যন্ত ঘর বাদ দেওয়া হয়েছে — তাই X-অক্ষে ভাঙা চিহ্ন (∧∧)
প্রতিটি (মধ্যমান, গণসংখ্যা) বিন্দু বসিয়ে রুলার দিয়ে সরলরেখায় যোগ করি
সর্বোচ্চ চূড়া 65.5 তে — অর্থাৎ 61–70 নম্বর পাওয়া শিক্ষার্থী সবচেয়ে বেশি (12 জন)।
প্রশ্ন ১ · অজিভ রেখার সারণি
প্রাপ্ত নম্বর
অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমা
গণসংখ্যা
ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
বিন্দু
31–40
30.5–40.5
6
6
(40.5, 6)
41–50
40.5–50.5
8
6 + 8 = 14
(50.5, 14)
51–60
50.5–60.5
10
14 + 10 = 24
(60.5, 24)
61–70
60.5–70.5
12
24 + 12 = 36
(70.5, 36)
71–80
70.5–80.5
5
36 + 5 = 41
(80.5, 41)
81–90
80.5–90.5
7
41 + 7 = 48
(90.5, 48)
91–100
90.5–100.5
2
48 + 2 = 50
(100.5, 50)
অবিচ্ছিন্ন করার নিয়ম: 40 আর 41 এর মাঝে ফাঁক 1, তার অর্ধেক 0.5। নিম্নসীমা থেকে 0.5 বাদ, উচ্চসীমায় 0.5 যোগ করি। অজিভ রেখায় বিন্দু বসে উচ্চসীমায়।
বইয়ের ভুল সংশোধন: বইয়ে অজিভ রেখার বিন্দু 40, 50, 60… তে বসানো হয়েছে। বিচ্ছিন্ন শ্রেণি (31–40, 41–50) হলে সঠিক উচ্চসীমা 40.5, 50.5, 60.5… — এখানে সেটিই ব্যবহার করা হলো।
প্রশ্ন ১ · অজিভ রেখা অঙ্কন
স্কেল: Y-অক্ষে ছোট 5 ঘর = 5 জন
প্রথম বিন্দু (30.5, 0) — প্রথম শ্রেণির নিম্নসীমায় ক্রমযোজিত গণসংখ্যা শূন্য
বিন্দুগুলো হাত দিয়ে মসৃণভাবে যোগ করি — রুলারে সোজা দাগ নয়
অজিভ রেখা সবসময় উপরের দিকে ওঠে, কখনো নামে না — কারণ ক্রমযোজিত গণসংখ্যা শুধু বাড়ে।
প্রশ্ন ২ · মধ্যক নির্ণয় [বাকাশিবো-২০১৮, ২০২২, ২০২৩]
নিচে 50 জন শিক্ষার্থীর ওজনের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো। মধ্যক নির্ণয় কর।
ওজন (কেজি)
45
50
55
60
65
70
গণসংখ্যা
2
6
8
16
12
6
মধ্যক নির্ণয়ের সারণি
ওজন (কেজি)
45
50
55
60
65
70
গণসংখ্যা
2
6
8
16
12
6
ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
2
8
16
32
44
50
বইয়ের ভুল সংশোধন: বইয়ের প্রশ্নে 65 কেজির গণসংখ্যা 17 লেখা, কিন্তু সমাধানে 12 ও n = 50 ধরা হয়েছে। "50 জন" মেলাতে 12 সঠিক। (17 ধরলেও n = 55, 28তম পদ = 60 — উত্তর একই।)
প্রশ্ন ২ · মধ্যক নির্ণয় (চলমান)
এখানে n = 50, যা জোড় সংখ্যা
∴ মধ্যক = (n/2) তম পদ + (n/2 + 1) তম পদ2
= 25 তম পদ + 26 তম পদ2
ক্রমযোজিত গণসংখ্যা 16 এর পর 32 — অর্থাৎ 17 তম থেকে 32 তম পদ সবগুলোর মান 60
তাই 25 তম পদ = 60 এবং 26 তম পদ = 60
∴ মধ্যক = 60 + 602 = 60 কেজি (উত্তর)
বইয়ের ভুল সংশোধন: বইয়ে শুধু "n/2 = 25 তম পদ" লেখা আছে। n জোড় হলে মধ্যক হয় 25 তম ও 26 তম পদের গড়। এখানে দুটোই 60, তাই উত্তর অবশ্য একই।
বাস্তব উদাহরণ: লাইনে 50 জন দাঁড়ালে মাঝের দুজন হলো 25 তম ও 26 তম — তাদের ওজনের গড়ই মধ্যক।
প্রশ্ন ৩ · সরাসরি পদ্ধতিতে গড় [বাকাশিবো-২০১৬]
একটি শ্রেণির শিক্ষার্থীদের গণিতে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো। প্রাপ্ত নম্বরের গাণিতিক গড় নির্ণয় কর।
শ্রেণি
25–34
35–44
45–54
55–64
65–74
75–84
85–94
গণসংখ্যা
5
10
15
20
30
16
4
শ্রেণি মধ্যমান × গণসংখ্যা
শ্রেণি
মধ্যমান (x)
গণসংখ্যা (f)
fx
25–34
29.5
5
147.5
35–44
39.5
10
395
45–54
49.5
15
742.5
55–64
59.5
20
1190
65–74
69.5
30
2085
75–84
79.5
16
1272
85–94
89.5
4
358
মোট
n = 100
Σfx = 6190
প্রশ্ন ৩ · গড় নির্ণয় (চলমান)
প্রথম মধ্যমান = 25 + 342 = 29.5; পরেরগুলোতে 10 করে যোগ
সূত্র গড় x̄ = Σfxn
∴ x̄ = 6190100
= 61.9 (উত্তর)
যাচাই: গড় সবসময় সবচেয়ে ছোট (29.5) ও সবচেয়ে বড় (89.5) মধ্যমানের মাঝে থাকবে। 61.9 সেখানেই আছে।
বাস্তব উদাহরণ: দোকানের মাসিক গড় বিক্রি বের করতে একইভাবে প্রতিদিনের বিক্রি যোগ করে দিন সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা হয়।
প্রশ্ন ৪ · সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় [বাকাশিবো-২০১৮]
কোনো দ্রব্যের উৎপাদনে বিভিন্ন পর্যায়ে যে খরচ (শত টাকায়) হয় তা সারণিতে দেওয়া হলো। সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় খরচ নির্ণয় কর।
খরচ
2–6
6–10
10–14
14–18
18–22
22–26
26–30
30–34
গণসংখ্যা
1
9
21
47
52
36
19
3
ধাপ ১ h = শ্রেণি ব্যবধান = 6 − 2 = 4
ধাপ ২ সর্বোচ্চ গণসংখ্যার (52) শ্রেণির মধ্যমান 20 কে a = 20 ধরি
ধাপ ৩ u = x − ah = x − 204
a কোনটা ধরব? মাঝের দিকের বা সবচেয়ে বেশি গণসংখ্যার শ্রেণির মধ্যমান ধরলে হিসাব সবচেয়ে ছোট হয়।
প্রশ্ন ৪ · সারণি ও গড়
শ্রেণি
x
f
u
fu
2–6
4
1
−4
−4
6–10
8
9
−3
−27
10–14
12
21
−2
−42
14–18
16
47
−1
−47
18–22
20 = a
52
0
0
22–26
24
36
1
36
26–30
28
19
2
38
30–34
32
3
3
9
মোট
188
−37
Σfu = (−4 −27 −42 −47) + (36 + 38 + 9)
= −120 + 83 = −37
∴ x̄ = a + Σfun × h
= 20 + −37188 × 4
= 20 − 0.79
= 19.21
আনুমানিক গড় খরচ 19.21 শত টাকা অর্থাৎ প্রায় 1921 টাকা।
প্রশ্ন ৫ · অবিন্যস্ত উপাত্ত থেকে গড় [বাকাশিবো-২০১৫]
বইয়ের ভুল সংশোধন: বইয়ের গ্রাফে X-অক্ষের শেষ দুটি মান "60.5, 60.5" ছাপা হয়েছে এবং Y-অক্ষ 10 থেকে শুরু হয়েছে। সঠিক মান 62.5 ও 68.5, আর Y-অক্ষ 0 থেকে শুরু হবে — এখানে সংশোধিত গ্রাফ দেওয়া হলো।