সসীম ধারা

এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = 5

সাধারণ অন্তর, d = 8 − 5 = 11 − 8 = 14 − 11 = 3

মনে করি, r-তম পদ = 383

বা,

a + (r − 1)d = 383

বা,

5 + (r − 1).3 = 383

বা,

5 + 3r − 3 = 383

বা,

3r + 2 = 383

বা,

3r = 383 − 2

বা,

3r = 381

বা,

r =

= 127

বা,

r =

= 127

∴

প্রদত্ত ধারার 127-তম পদ = 383

এটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম পদ a = 1

সাধারণ অন্তর d = 2 − 1 = 1

ধরি,

r-তম পদ = 99

বা,

a + (r − 1)d = 99

বা,

1 + (r − 1).1 = 99

বা,

1 + r − 1 = 99

বা,

r = 99

∴ সমষ্টি

=

{2a + (r − 1)d}

=

{2 × 1 + (99 − 1)1}

=

{2 × 1 + (99 − 1)1}

=

(2 + 98)

=

× 100

= 99 × 50

= 4950 (Ans.)

এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ a = 8

সাধারণ অন্তর, d = 11 − 8 = 3

মনে করি, r-তম পদ = 392

r-তম পদ = a + (r − 1)d

∴

a + (r − 1)d = 392

বা,

8 + (r − 1).3 = 392

বা,

(r − 1).3 = 392 − 8 = 384

∴

r − 1 =

= 128

বা,

r = 128 + 1 = 129

∴

প্রদত্ত ধারার 129-তম পদ = 392 (Ans.)

এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, a = 4

ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = 7 − 4 = 3

∴

ইহা একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, ধারাটির n-তম পদ = 301

আমরা জানি,

n-তম পদ = a + (n − 1)d

∴

4 + (n − 1)3 = 301

বা,

4 + 3n − 3 = 301

বা,

3n + 1 = 301

বা,

3n = 301 − 1

বা,

3n = 300

∴

n = 100

∴

n = 100

∴

প্রদত্ত ধারাটির 100 তম পদ 301

Ans. 100 তম।

মনে করি, ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d

∴ m-তম পদ

= a + (m − 1)d

= a + md − d

∴ n-তম পদ

= a + (n − 1)d

= a + nd − d

প্রশ্নমতে,

a + md − d = n … … … (i)

a + nd − d = m … … … (ii)

(i) − (ii) করে,

md − nd = n − m

বা,

d(m − n) = n − m

∴

d =

= −1

∴

d =

= −1

এখন, (m + n)-তম পদ

= a + (m + n − 1)d

= a + md + nd − d = (a + md − d) + nd

= n + n.(−1)

[a + md − d = n এবং d-এর মান বসিয়ে]

= n − n

= 0 (Ans.)

প্রথম পদ a = 5

সাধারণ অন্তর d = 11 − 5 = 6

মনে করি, n-তম পদ = 59

বা,

a + (n − 1)d = 59

বা,

5 + (n − 1).6 = 59

বা,

6n − 6 + 5 = 59

বা,

6n − 1 = 59

বা,

6n = 59 + 1 = 60

বা,

n =

= 10

বা,

n =

= 10

সমষ্টি, S

=

{2a + (n − 1)d}

=

{2.5 + (10 − 1).6}

= 5(10 + 54)

= 5 × 64 = 320 (Ans.)

প্রথম পদ a = 29

সাধারণ অন্তর, d = 25 − 29 = −4

মনে করি, n-তম পদ = −23

বা,

a + (n − 1)d = −23

বা,

29 + (n − 1)(−4) = −23

বা,

29 − 4n + 4 = −23

বা,

−4n + 33 = −23

বা,

−4n = −23 − 33

বা,

−4n = −56

বা,

4n = 56

বা,

4n = 56

∴

n =

= 14

সমষ্টি S

=

{2a + (n − 1)d}

=

{2.29 + (14 − 1) × (−4)}

= 7{58 + 13.(−4)}

= 7(58 − 52)

= 7 × 6 = 42 (Ans.)

মনে করি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d

∴ 12-তম পদ

= a + (12 − 1)d

= a + 11d

প্রশ্নমতে,

a + 11d = 77

প্রথম 23 পদের সমষ্টি S

=

{2a + (23 − 1)d}

=

(2a + 22d)

=

. 2(a + 11d)

= 23 × 77 = 1771 (Ans.)

এটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম পদ a = 9

এবং সাধারণ অন্তর d = 7 − 9 = −2

n-সংখ্যক পদের যোগফল

=

{2a + (n − 1)d}

=

{2 × 9 + (n − 1)(−2)}

=

{18 − 2n + 2}

=

(20 − 2n)

=

(20 − 2n)

=

× 2(10 − n) = n(10 − n)

প্রশ্নমতে,

n(10 − n) = −144

বা,

10n − n² = −144

বা,

0 = −10n + n² − 144

বা,

n² − 10n − 144 = 0

বা,

n² − 18n + 8n − 144 = 0

বা,

n(n − 18) + 8(n − 18) = 0

বা,

(n + 8)(n − 18) = 0

বা,

n + 8 = 0 অথবা, n − 18 = 0

∴

n = −8 ∴ n = 18

∴

n = −8 ∴ n = 18

n = −8 গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ ধারার পদ সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।

∴

n = 18 গ্রহণযোগ্য।

∴

n এর মান 18 (Ans.)

ধারাটির প্রথম পদ a = 2, সাধারণ অনুপাত r =

= 2.

∴

প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।

আমরা জানি,

গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = arⁿ⁻¹

∴ ধারাটির 10তম পদ

= 2 × 2¹⁰⁻¹

= 2 × 2⁹ = 1024

এখানে, ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা, এর প্রথম পদ, a = 1

সাধারণ অনুপাত, r =

=

পদসংখ্যা, n = 8

যেহেতু সাধারণ অনুপাত

< 1.

সুতরাং, এক্ষেত্রে S =

সূত্রটি প্রয়োগ করে পাই,

সুতরাং, এক্ষেত্রে S =

সূত্রটি প্রয়োগ করে পাই,

আটটি পদের সমষ্টি

=

[a ও q এর মান বসিয়ে]

=

=

= 2 (

) =

= 1

= 2 (

) =

= 1

অতএব, ধারাটির প্রথম আটটি পদের সমষ্টি = 1

(Ans.)

এখানে, ১ম পদ a = 128

সাধারণ অনুপাত q =

=

পদসংখ্যা n হলে

ধারাটির n-তমপদ =

বা,

aqⁿ⁻¹ =

বা,

128 × (

)ⁿ⁻¹ =

বা,

128 × (

)ⁿ⁻¹ =

বা,

(

)ⁿ⁻¹ =

বা,

(

)ⁿ⁻¹ = (

)⁸

বা,

n − 1 = 8

বা,

n = 8 + 1 ∴ n = 9

উত্তর : 9-তমপদ

মনে করি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ = a

এবং সাধারণ অনুপাত = q

তাহলে, পঞ্চম পদ = aq⁵⁻¹ = aq⁴

এবং দশম পদ = aq¹⁰⁻¹ = aq⁹

প্রশ্নানুসারে,

aq⁹ =

… … … (i)

এবং

aq⁴ =

… … … (ii)

এখন, (i) নং সমীকরণকে (ii) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,

এখন, (i) নং সমীকরণকে (ii) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,

বা,

=

বা,

q⁵ =

×

বা,

q⁵ =

বা,

q⁵ =

[∵ 4 = (√2)⁴ এবং 9 = (√3)⁴]

বা,

q⁵ = (

)⁵

বা,

q⁵ = (

)⁵

বা,

q =

এখন, সমীকরণ (ii) নং এ q এর মান বসিয়ে পাই,

a (

)⁴ =

বা,

a.

=

[∵ (√2)⁴ = √2.√2.√2.√2 = 2.2 = 4]

∴

a =

×

=

∴ ধারাটির তৃতীয় পদ

= aq³⁻¹ = aq²

=

. (

)²

[a ও q এর মান বসিয়ে]

=

. (

)²

=

.

=

=

=

অতএব, ধারাটির তৃতীয় পদ =

(Ans.)

ধরি,

ধারাটির n-তম পদ = 8

এখানে, প্রথম পদ, a =

সাধারণ অনুপাত, q = −

আমরা জানি,

n তম পদ = aqⁿ⁻¹

∴

প্রশ্নমতে, aqⁿ⁻¹ = 8

বা,

(−

)ⁿ⁻¹ = 8

বা,

(−

)ⁿ⁻¹ = 8

×

বা,

(−

)ⁿ⁻¹ = 8 × 2

বা,

(−

)ⁿ⁻¹ = 8 × 2

বা,

(−

)ⁿ⁻¹ = 16

বা,

(−

)ⁿ⁻¹ = (−

)⁸

বা,

n − 1 = 8 ∴ n = 9

∴

ধারাটির নবম পদ = 8

(Ans.)

প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদ, a = 5

সাধারণ অনুপাত = r

তাহলে, দ্বিতীয় পদ ar = x

তৃতীয় পদ ar² = y

এবং চতুর্থ পদ ar³ = 135

বা,

5.r³ = 135

[∵ a = 5]

বা,

r³ = 27

[উভয় পক্ষকে 5 দ্বারা ভাগ করে]

বা,

r³ = 3³

∴

r = 3

∴

দ্বিতীয় পদ, x = ar = 5 × 3 = 15

এবং তৃতীয় পদ, y = ar² = 5(3)² = 5 × 9 = 45

এবং তৃতীয় পদ, y = ar² = 5(3)² = 5 × 9 = 45

অতএব, x ও y এর নির্ণেয় মান যথাক্রমে 15 ও 45. (Ans.)

প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা, এর প্রথম পদ, a = 2

সাধারণ অনুপাত, q =

= −2

পদসংখ্যা, n = 7

যেহেতু সাধারণ অনুপাত, −2 < 1

সমষ্টি, S =

সুতরাং, সূত্রটি প্রয়োগ করে পাই,

প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি, S

=

[a ও q এর মান বসিয়ে]

প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি, S

=

=

= 2 × (

) = 2 ×

=

= 86

অতএব, ধারাটির প্রথম সাতটি পদের নির্ণেয় সমষ্টি = 86. (Ans.)

মনে করি, ধারাটির সমষ্টি = S

তাহলে, S

= log2 + log4 + log8 + … … … 10টি পদ

= log2 + log4 + log8 + … … … দশম পদ

= log2 + log2² + log2³ + … … … দশম পদ

= log2 + 2log2 + 3log2 + … … … দশম পদ

ইহা একটি সমান্তর ধারা

এর ১ম পদ a = log2

সাধারণ অন্তর d = 2log2 − log2 = log2

পদ সংখ্যা n = 10

∴

ধারাটির n পদের সমষ্টি =

{2a + (n − 1)d}

∴

ধারাটির n পদের সমষ্টি =

{2a + (n − 1)d}

∴ ধারাটির 10 পদের সমষ্টি

=

{2a + (10 − 1)d}

= 5(2.log2 + 9log2)

= 5 × 11log2 = 55log2

অতএব, ধারাটির প্রথম দশটি পদের নির্ণেয় সমষ্টি = 55log2. (Ans.)

দেওয়া আছে,

2 + 4 + 8 + 16 + … … …

এখানে, প্রথম পদ, a = 2

সাধারণ অনুপাত, q =

= 2

n তম পদের সমষ্টি = 254

পদসংখ্যা, n = ?

আমরা জানি,

n সংখ্যক পদের সমষ্টি =

বা,

254 =

বা,

254 =

বা,

254 =

বা,

2(2ⁿ − 1) = 254

বা,

2ⁿ − 1 = 127

বা,

2ⁿ = 127 + 1

বা,

2ⁿ = 128

বা,

2ⁿ = 2⁷

∴

n = 7 (Ans.)